Tolerancija

Posted On 25. decembra 2011.

Filed under Nastava matematike

Comments Dropped leave a response

Međunarodni dan tolerancije ustanovljen je Deklaracijom UN-a, usvojenom 16. novembra 1995. godine na Generalnoj konferenciji UNESCO-a u Parizu.

Prema ovoj deklaraciji, tolerancija je prihvatanje činjenice da „ljudska bića, prirodno različita po izgledu, položaju, govoru, ponašanju i vrednostima, imaju pravo da žive i budu to što jesu“.

Rešavanjem zadatka koji možeš preuzeti sa ovog linka, dobićeš još jedan odgovor na pitanje  šta je tolerancija. Ovaj radni materijal možeš i da odštampaš i zalepiš u svoju svesku. Želim ti uspešan rad!

 

Ovde se vidi atmosfera na času u odeljenju 5-2 dok su rešavali jednačine i otkrivali odgovor na pitanje šta je to tolerancija. (novembar 2014.)

Celi brojevi

Posted On 12. novembra 2011.

Filed under matematika za šesti razred

Comments Dropped leave a response

Celi brojevi mogu biti pozitivni ili negativni osim nule koja nije ni pozitivan ni negativan broj. Ako ispred broja ne piše znak onda podrazumevamo da je on pozitivan.

Primer 1:

Milena ume da bude jako nestašna devojčica pa su njeni roditelji

uveli   sledeće  pravilo: Kada Milena uradi nešto dobro dobija 3 boda   

 a kada  uradi nešto loše oduzima joj se 3 boda. Kada Milena skupi 30  

 bodova  dobiće igračku koju bude želela.

Sakupljanje bodova je počelo . Pogledaj kako je to teklo u jednom danu:

Milena je započela dan sa 9 bodova.

Mama je otkrila proliveno mleko pored frižidera  i

dala je Mileni 3 negativna boda   :                             (+9) + (-3) = 9 – 3 = 6

 

 Dakle , Milena sada ima 6 bodova.

Kasnije , kada je došao sa posla Milenin tata je priznao da

je on prosuo mleko, pa je mama morala da ispravi računicu,

i da Mileni oduzme 3 negativna boda  :                     (+6) – (-3) = 6 + 3 = 9

Nakon duručka mama je videla da je Milenin krevet

raspremljen pa je Mileni  dala 3 boda    :                  (+9) + (+3) = 9 + 3 = 12

A kada je došla iz škole, Milenina starija sestra je rekla

da je ona raspremila oba kreveta i da nije u redu da Milena

dobija bodove za nešto što nije uradila. Mama je morala

da oduzme 3 pozitivna boda koja je Milena nezasluženo

dobila, pa je ispravila računicu   :                           ( +12) – (+3) = 12 – 3 = 9

Zapiši pravilo koje smo koristili kako bi se oslobodili zagrada u gornjim situacijama.

Pimer 2: :

a)  Temperatura vazduha je iznosila  -8°C. Tokom noći je  pala  za 5°C . Kolika je temperatura bila nakon toga ?

(oslobodi se zagrada)

( -8) + ( -5) = _______________________ = _______

b)  Jovan  je  dugovao najboljem drugu 180 dinara a od brata je pozajmio još 230 dinara. Koliki je Jovanov dug?

(oslobodi se zagrada)

( -180) + ( -230) = ______________________  = _________

c)  Verica je imala 250 dinara ali je za školski pribor morala da plati 275 dinara. Koliko će Verica ostati dužna prodavcu? (oslobodi se zagrada)

( + 250 ) – ( +275 )  = ___________________ = ___________

Možda ovo nisi znao:

Pri množenju ( i deljenju) celih brojeva koristimo pravilo da brojevi istog predznaka daju pozitivan rezultat a brojevi različitog predznaka daju negativan rezultat.

To pravilo se može iskazati i na sledeći način:

Prijatelj mog prijatelja je moj prijatelj .   (plus puta plus daje plus)

Prijatelj mog neprijatelja je moj neprijatelj . (plus puta minus je minus)

Neprijatelj mog prijatelja je moj neprijatelj . (minus puta plus daje minus)

Neprijatelj mog neprijatelja je moj prijatelj . (minus puta minus daje plus)

Zadatke za samostalni rad , koji će ti pomoći da se bolje pripremiš za kontrolnu vežbu i dobiješ plus, možeš preuzeti na ovom  linku.

Ovaj članak možeš preuzeti u word formatu ovde, odštampati ga, popuniti i zalepiti u svoju svesku.

Želim ti uspešan rad!

 

Pitagorini brojevi

Posted On 12. novembra 2011.

Filed under Matematika za sedmi razred

Comments Dropped leave a response

PITAGORINI BROJEVI

Trojke prirodnih brojeva koje zadovoljavaju Pitagorinu jednakost , nazivaju se Pitagorini brojevi. 

Egipatski trougao

Primer 1 :  Pitagorini brojevi su (3,4,5) jer je 9+16=25. Hitotenuza ovog trougla je stranica dužine 5.

Ovaj trougao je poznat i pod nazivom Egipatski trougao upravo zato što su ga stari Egipćani koristili u građevinskim poslovima za  određivanje pravog ugla ( ugao čija je mera 90 stepeni).

Nosači užeta

Znanje o tome kako se formira savršen prav ugao je bilo veoma važno u umetnosti gradnje u doba Starog Egipta . Stručnjaci za ovakav deo građevinskog posla, su nazivani „nosači užeta“ i bili su veoma cenjeni i dobro plaćeni radnici. Oni su pozivani da postave temenje nove građevine, a u tu svrhu su koristila uže sa 13 čvorova.

Savršen prav ugao

Za oblikovanje pravog ugla se koristilo uže sa ravnomerno raspoređenim čvorovima, kojim  je mogao  da se obrazuje trougao  sa stranicama 3, 4 i 5. Stari Egipćani su znali da je ovako dobijeni trougao pravougli te su tu činjenicu koristili u praktične svrhe u građevini i drugim situacijama gde se za to pojavila potreba.

Trojka prirodnih  brojeva (3,4,5) je jedna od beskonačno mnogo trojki prirodnih brojeva koje zadovoljavaju Pitagorinu teoremu.  Od trojke (3, 4, 5 ) možemo dobiti još beskonačno mnogo Pitagorinih trojki tako što ćemo  brojeve 3, 4 i 5 umnožavati istim činiocem. Kako bi to izgledalo, pogledaj u sledećem primeru.

Primer 2:

Ako stranice egipatskog trougla  pomnožimo sa dva, dobijamo trojku ( 6, 8, 10) koja je takođe trojka Pitagorinih brojeva jer je  36+64=100.  Istu trojku (3, 4, 5) možemo „pomnožiti“  brojem tri i dobiti trojku (9, 12, 15) za koju opet važi da je 81+144=225,  pa je i ovo trojka Pitagorinih brojeva.  Proveri da li je ( 12, 16, 20 ) trojka Pitagorinih brojeva.Da li znaš kako smo do ove trojke brojeva došli?

Nadam se da si shvatio da samo koristeći Pitagorinu trojku (3, 4, 5 ) , možemo napraviti beskonačno mnogo novih Pitagorinih trojki. Pitagorina trojka koja se pojavljuje u ovom primeru (3, 4, 5 ) se naziva osnovna trojka Pitagorinih brojeva, dok su ostale trojke  (6, 8, 10) ; (9, 12, 15 ) … izvedene iz nje.

Na ovom linku su  zapisane  sve osnovne Pitagorine trojke brojeva za a, b i c manje od 1000. Pri tom nisu navedene trojke koje su izvedene iz osnovnih trojki Pitagorinih brojeva. Na primer : ako je iz trojke (3, 4, 5 )  proistekla trojka (6, 8, 10 ) umnožavanjem sa dva, u tablici će biti zapisana samo osnovna trojka (3, 4, 5 ) .

Verujem da je sada svima jasno da Pitagorinih trojki  brojeva ima  mnooooogo. Ovo što si video na prethodnom linku je samo delić. Iz svake ove trojke možeš izvesti još beskonačno mnogo trojki umnožavajući ih istim činiocem.  Matematičkim jezikom rečeno ima ih BESKONAČNO MNOGO.

Evo i zadataka koji će ti pomoći da proveriš svoje znanje iz  ove oblasti:

1. Dijagonala pravougaonika je 13 cm,a jedna njegova stranica 12 cm.Izračunaj površinu pravougaonika.

2. Izračunaj obim i površinu jednakokrakog trougla čija je osnovica 16 cm i krak 10 cm.

3. Poluprečnik opisanog kruga jednakostraničnog trougla iznosi 6 cm.Izračunaj površinu ovog trougla.

4. Izračunaj visinu romba čije su dijagonale 16 cm i 12 cm.

5. Izračunaj površinu i obim jednakokrakog trapeza čije su osnovice 24 cm i 16 cm,a ugao na osnovici 30°.

6. Stranica pravougaonika je 5 cm,a dijagonala 13 cm.Izračunaj obim pravougaonika.

7.Osnovica jednakokrakog trougla je 12 cm i odgovarajuća visina 8 cm.Izračunaj obim i površinu ovog trougla.

8. Poluprečnik upisanog kruga jednakostraničnog trougla iznosi 3 cm.Izračunaj površinu ovog trougla.

9. Dijagonale romba su 24 cm i 18 cm.Izračunaj visinu tog romba.

10. Osnovice jednakokrakog trapeza su 24 cm i 16 cm,a ugao na osnovici 60°.Izračunaj obim i površinu trapeza.

Želim ti uspešan rad!

O rešavanju jednačina

Posted On 6. novembra 2011.

Filed under Matematika za osmi razred

Comments Dropped one response

Začetak algebre 

Naucnici u gradu mudrosti

Naucnici u Bagdadu, gradu mudrosti

Algebra je deo matematike koji se , između ostalog, bavi rešavanjem jednačina. Osnovno obeležje algebre je uvođenje simbola koji su omogućili da se konkretan problem svede na jednu ili više jednostavnih jednakosti. U tim jednakostima su brojevi , koje treba otkriti, zamenjeni slovima (nepoznate veličine). Reč algebra se po prvi put pojavljuje u 10. veku, kao naslov knjige poznatog persijskog matematičara Al Horezmija. U bukvalnom prevodu reč algebra znači „ sastavljanje razdvojenih delova“ a u samoj knjizi podrazumeva povezivanje leve i desne strane jednakosti i skup pravila uz pomoću kojih se rešavaju jednačine.

Starogrčki matematičar, Diofant Aleksandrijski

Diofant Aleksandrijski  

Početak rešavanja jednačina najčešće vežemo uz starogrčkog matematičara Diofanta, ali postoje dokazi da su se jednačine u drevnoj Kini rešavale i mnogo ranije. Diofant je  doprineo napretku algebre upotrebom simbola za nepoznate veličine , matematičke operacije i odnose, pre toga su ove veličine  opisivane rečima. Najpoznatiji je po   otkriću Diofantovih jednačina, neodređenih jednačina s racionalnim koeficijentima za koje se traži racionalno rešenje. Diofant je prvi rešavao ovakve jednačine.  Ne zna se tačno kad je živeo, neki autori veruju da je živeo u trećem veku pre nove ere, dok ga drugi smeštaju u rani početak prvog veka. No, pouzdano se zna da je on bio grčki matematičar koji je radio u palati na Aleksandrijskom univerzitetu u Egiptu i da je upravo on započeo da koristi algebarske simbole koji su ubrzo istisnuli pisanje algebre u prozi i na verbalan način koji je nazvan  „retorička algebra“.  O životu Diofanta  Aleksandrijskog nije ostalo pisanih tragova osim neobičnog  natpisa na njegovoj  nadgrobnoj ploči  koji glasi :

“Putniče! Ovde je sahranjen Diofant. Brojevi govore koliko je dug bio njegov život. Šestinu njegovog života čini prekrasno detinjstvo. Dvanestinu čini njegova mladost. Sedminu svog života Diofant je proveo u braku bez dece. Prošlo je još pet godina dok mu Himen, bog braka i svadbe, nije podario sina. Sudbina je htela da sin poživi dva puta manje od svog oca. Još četiri godine poživeo je starac u dubokom bolu za izgubljenim sinom. Koliko je živeo Diofant? “

Kada bismo neku današnju jednačinu, npr. 5x + 3y = 7, pokazali nekom matematičaru  iz doba Diofanta, on bi bio krajnje zbunjen, iako je  znao da reši  takvu jednačinu . Naime, u to doba matematičari su se koristili potpuno drugačijim stilom zapisivanja i rešavanja zadataka.  Ovaj naš zapis jednačina koji koristi simbole za brojevne veličine (1,2,3…) , nepoznate veličine (x,y,a,m,…) , računske operacije (+,-, : , … ) i brojevne relacije (=, <,> ,…) je nastao tek u 17. veku.

Indijske cifre postaju arapske 

Indijske cifre nekad i sad

Kako bismo ilustrovali način zapisivanja jednačina pre pojave simbola, uzmimo primer iz arapskog matematičkog perioda. Primer je iz zapisa koji je nastao u 10. veku a pisao ga je poznati persijski matematičara Al Horezmi. Ovaj matematičar, astronom i geograf je poznat po mnogim knjigama, među kojima su i “Algebra”  i  “Račun sa hindu brojkama” u kojoj je opisana indijska notacija brojeva kasnije , zbog velikog uticaja ove knjige, nazvana arapska notacija. Takav zapis brojeva , koji cifri dodeljuje odgovarajuću vrednost u zavisnosti od njene pozicije u samom broju, naziva se pozicioni i koristi se i dan danas a a cifre koje koristimo u zapisu broja , poznate kao arapske cifre, su,  ustvari indijsko otkriće. Ovaj brojevni sistem je značajan i po tome što je cifru nula uveo u zapis broja ravnopravno sa svih  preostalih devet cifara dekadnog brojevnog sistema.

Spomenik Al Horezmiju u rodnom gradu Hiva, Uzbekistan

U Al Horezmijevoj knjizi “Algebra” zapisana je jednačina  čijim se rešavanjem on bavi u jednom delu svog teksta: Evo jednačine : Kolika mora biti količina kvadrata koji, kada mu se doda dvadeset i jedna celina, postaje jednako desetorostrukom kvadratu tog korena?

Sledi i rešenje ove jednačine dato u samoj knjizi : Prepolovi broj korena; polovina je pet. Pomnoži to sa samim sobom, proizvod je dvadeset i pet. Oduzmi od toga dvadeset i jedan kojiv je povezan s kvadratom; ostatak je četiri. Nađi njegov koren; on iznosi dva. Oduzmi ga od polovine korena, koji je pet; ostatak je tri. To je koren kvadrata kojeg si tražio, a kvadrat je devet. Ili možeš dodati koren polovini korijena; zbir je sedam; to je koren kvadrata kojeg si tražio, a kvadrat je četrdeset i devet.

Ovakav način zapisivanja jednačina je komplikovao rešavanje I najjednostavnijih jednačina. Bio je nepraktičan  iz više razloga a jedan od njih je i to što je svaki matematičar svoje jednačine pisao na svom maternjem jeziku pa je na taj način mogućnost razmene znanja među naučnicima bio ograničen jezičkim barijerama.

Matematički esperanto

Univerzalna matematička simbolika

Zanimljivo je da je Al Horezmi  , sve do otkrića indijske notacije, za zapisivanje brojeva koristio reči. Ispostavilo se da je indijski način zapisivanja brojeva imao veliku praktičnu vrednost  zbog čega je odmah bio prihvaćen među arapskim matematičarima. Prevodi Al Horezmijevih knjiga na latinski jezik , donose indijske cifre i na tlo Evrope gde su vrlo brzo ušle u upotrebu i izazavale ubrzani razvoj matematike u svim njenim oblastima.  Potaknuti idejom da se simboli uvedu u zapisivanje matematičkih jednačina, mnogi su matematičari počeli da u jezik matematike unose novu simboliku koja je znatno olakšala zapisivanje i rešavanje mnogih matematičkih problema. Sa pojavom Gutembergove štamparske mašine, pojačala se razmena znanja među naučnicima te je matematička simbolika postala univerzalan način korespodencije među matematičarima. Tako je nastao novi  “svetski”  jezik razumljiv u svakom delu naše planete, ispunjen simbolima koji su uglavnom nastajali  relativno skoro, u doba renesanse, u 15., 16. i 17. veku.

Poliedri, kooperativno učenje

Posted On 5. novembra 2011.

Filed under Nastava matematike

Comments Dropped 2 responses

Opis jednog eksperimentalnog časa

Nastavna tema : Tačka, prava i ravan

Nastavna jedinica :  Poliedri – dvočas (obrada), 8.razred

Cilj nastavne jedinice:  Učenici treba da savladaju osnovne pojmove vezane za geometrijska tela a posebno poliedar, treba da nauče šta je mreža tela, da usvoje  pojam površine i zapremine tela i da nauče šta su pravilni poliedri i koliko ih ima.

Metode rada :

Osnovna metoda rada je kooperativno učenje u ekspertskim grupama. Ovakav način rada ima za cilj  razvijanje saradnje među učenicima kroz zajedničko učenje, razvijanje odgovornosti za sopstveno znanje i napredovanje i razvijanje vršnjačkog učenja .

Pored ove metode na času će biti korišćene i druge nastavne metode kao što su razgovor, objašnjavanje,  pismeni rad,  rad sa tekstom,  metoda  crtanja, izrada modela od papira .

Oblici rada:  Grupni

Nastavna sredstva :  Radni materijal  za svaku grupu,  geometrijski pribor , makaze , lepak, mreže pravilnih poliedara .

Nastavni (radni) materijali za radu u pet osnovnih grupa, test provere znanja i evaluacioni listić  su dostupni za preuzimanje na ovom linku .  Lekcija je podeljena na pet delova i to:  Geometrijska tela, Osnovni elementi poliedra, Površina tela, Zapremina tela i Platonova tela. Radni listovi za učenje u osnovnim grupama sadrže pitanja, na kraju teksta, koja imaju za cilj da učenici obrate pažnju na ključne pojmove. U našoj školi postoje modeli kvadratnog i kubnog metra pa grupe koje se bave površinom i zapreminom (treća i četvrta), imaju i zadatak da nađu ove modele i svi zajedno ih pogledaju. Peta grupa ima zadatak da napravi pet pravilnih poliedara od pripremljenih mreža, koje dobijaju uz radni materijal.

Napominjem da je veći deo teksta u radnim materijalima preuzet iz udžbenika za 8. razred u izdanju „Klett“-a.

Galerija fotografija snimljenih  za vreme  dvočasa  nalazi se na ovom linku.

Kratak prikaz toka časa:

Uvodni deo časa:

Učenici dobijaju uputstva za rad i nastvnik ih obaveštava o sastavu grupa. Podelu u grupe treba da uradi nastavnik, pre časa, kako bi grupe bile ujednačene po svojim mogućnostima. Lekcija je podeljena na pet delova pa je potrebno da imamo pet grupa sa po, najmanje pet đaka. Obzirom da se odeljenje deli u grupe dva puta, prvo u osnovne  grupe u kojima izučavaju isti deo lekcije, pa potom u ekspertske grupe u kojima obučavaju druge učenike , iz drugih osnovnih grupa, ja sam na radnim listovima ispisala brojeve od 1 do 5, pa sam ekspertske grupe formila tako što su u prvoj grupi svi učenici sa brojem 1, u drugoj svi sa brojem 2 i tako dalje.  U svakoj osnovnoj grupi je bilo po pet đaka i oni su u okviru svoje  grupe  izučavali iste delove lekcije. Ekspertske grupe su se sastojale takođe od pet đaka ali tako što je u svakoj ekspertskoj grupi bio po jedan učenik-ekspert iz svake od pet osnovnih grupa.  Ako je u odeljenju veći broj đaka, onda će  se i u ekspertskoj grupi naći dva učenika- eksperta za istu oblast. Ništa strašno. A ako ih je manje, onda morate vi da preuzmete ulogu predavača u ekspertskoj grupi. Ni to nije problem. Ja sam radila sa odeljenjem od 18 đaka i čas je bio odličan, bila sam peti član u svakoj od pet ekspertskih grupa. Nemojte da vas broj učenika u odeljenju obeshrabri u nameri da održite čas.

Za ovaj deo časa planirano je 5 minuta.

 

Glavni deo časa:

1)     Rad u osnovnim grupama.

Svaki učenik dobija radni materijal koji treba da izuči. Učenici u osnovnim grupama izučavaju isti deo  lekcije. Nastavnik daje uputstva i upućuje učenike da u okviru grupe razmenjuju pitanja i traže odgovore . U osnovnoj grupi učenici odgovaraju na pitanja koja su im postavljena na kraju radnog materijala i rešavaju zadatke koji se nalaze u samom materijalu. Pitanja i zadaci imaju za cilj da učenicima pomognu u savlađivanju novog gradiva. Po završetku izučavanja radnog materijala svaki učenik u grupi postaje ekspert za deo lekcije koji se u toj grupi izučavao.

Za ovaj deo časa planirano je 30 minuta.

2)     Rad u ekspertskim grupama

Formiraju se ekspertske grupe . Ekspertska grupa sadrži pet eksperata tj. pet učenika koji su postali eksperti za pet različitih delova lekcije. Dakle u ekspertskoj grupi je po jedan učenik iz svake od pet osnovnih grupa. Eksperti prezentuju svoj deo lekcije celoj grupi. Zadatak učenika je da razmene znanje koje su stekli izučavajući svoje materijale u prethodnom delu časa. Na taj način bi svaki učenik trebao da dobije osnovne i najvažnije informacije o ostatku lekcije koja se na ovom času obrađuje i na taj način pripremi za test koji ga očekuje.

Za ovaj deo časa je predviđeno 30 minuta.

Završni deo časa:

1)     Učenici rade test koji sadži najosnovnija  pitanja i zadatke  iz cele lekcije ( svih pet njenih delova) o poliedrima. Test sadrži pitanja različitih formi i za izradu testa je predviđeno 10 minuta.

2)     Učenici popunjavaju evaluacioni upitnik u kojem mogu da izraze svoje mišljenje o ovom načinu obrade lekcije koji , za razliku od klasične frontalne metode , zahteva aktivno učešće učenika i saradnju među učenicima u grupi, pogotovo ekspertskoj.

Osvrt nastavnika :

Ovaj čas obrade nastavne jedinice je organizovan  tako da učenici prvo sami izučavaju zadate radne materijale  a kasnije jedan drugog , u ekspertskim grupama, poučavaju i na taj način aktivno učestvuju u sticanju znanja.  Moje  dugogodišnje iskustvo  nastavnika matematike u osnovnoj školi  mi govori da učenici svaku novu metodu rada sa oduševljenjem prihvataju. Ipak u ovom slučaju bilo je i drugačijih komentara. Naime, činjenica da ih nakon izučavanja lekcije u osnovnim i ekspertskim grupama, čeka i test provere savladanog gradiva, kod učenika je delovala motivaciono, ali su se u prvom delu časa pojedini žalili da im je naporno da uče sami i da bi bilo mnogo lakše da je nastavnik ispredavao najvažnije delove lekcije na klasičan način. Nakon početnog negodovanja, učenici su  se oslonili na svoje mogućnosti i počeli da se bave zadatkom. Diskutovali su međusobno o  problemima na koje su nailazili, rešavali ih u okviru grupe i savladavali zadate delove lekcije.  Uočila sam da je najveća poteškoća bila da se izdvoje najvažniji delovi  u tekstu odnosno, većini učenika je bio problem da izdvoje suštinu same lekcije. Takođe, grupa koja je trebala da napravi modele pravilnih poliedara je imala problem u realizaciji svog zadatka, jer su  veoma neiskusni u izradi modela i nisu mogu da predvide ceo proces modeliranja. Ipak, čas je ostvario predviđene ciljeve na šta ukazuju i rezultai testa na kojem je prosečan broj bodova bio 7 od maksimalnih 10. Moram priznati da je moja uloga na samom času bila minimalna i svela se samo na organizaciju grupa i davanje instrukcija., Učenici su veoma brzo prihvatili vršljačku saradnju i počeli da koriste sve njene prednosti. Za samu pripremu materijala i sastavljanje lekcija mi je bilo potrebno dosta vremena, pa pretpostavljam da je to i jedan od vodećih razloga što nastavnici slabo koriste saradničke metode na svojim časovima. Priprema takvih časova je zahtevna ali su njihovi rezultati i činjenica da je timski rad i saradnja među pojedincima model uspešnosti u bilo kom okruženju, jedina motivacija za inovativne nastavnike.

Analiza rezultata evaluacionog listića :

Evaluacioni list je dat u formi skale procene: šest konstatacija s mogućnošću izbora: tačno/ delimično tačno/nije tačno TAČNO DELIMIČNO TAČNO NIJE TAČNO Analiza rezultata

(broj  odgovora i procenat)

 

1. Sviđa mi se ovakav način učenja na času 17 – 71% 7-29% Evaluacioni list su popunili svi učenici koji su prisustvovali časoviama (24).Najveći broj učenike se izjasnio u prilog kooperativnog učenja i potvrdili zadovoljstvo onim što su naučili i kvalitetom rada u grupi.U jednakom procentu (58%) su međusobno sarađivali u okviru grupe (pomagali drugima i primali pomoć od drugih ).Malo više od polovine učenika smatraju da su kroz saradnju bolje savladali gradivo nego na uobičajeni način.
2. Više sam naučio(la) nego da sam učio(la) sam(a) 14 – 58% 10-42%
3. U učenju su mi pomogli ostali članovi grupe 14-58% 10-42%
4. Ja sam pomagao(la) drugome u učenju 14-58% 9-38% 1-4%
5. Zadovoljan(na) sam onim što sam naučio(la) 16-67% 7-29% 1-4%
6. Moja grupa je dobro radila 17-71% 7-29%

Mali Gaus

Posted On 4. novembra 2011.

Filed under matematika za šesti razred

Comments Dropped leave a response

Karl Fridrih Gaus (1777-1855) ,nemački matematičar bio je čudo od deteta, o čemu svedoče brojne anegdote koje govore o njegovoj  zrelosti koja se mogla primetiti u vreme dok je imao svega dve godine. Do svojih prvih matematičkih otkrića došao je kao tinejdžer, kada je otkrio postupak konstrukcije pravilnog sedamnaestougla samo koristeći lenjir i šestar.

Gaus je rano pokazao svoju matematičku darovitost. Poznata je anegdota koja kaže da je jednom prilikom Gausov učitelj zadao da se saberu svi brojevi od 1 do 100, verovatno da bi „zaposlio učenike“ i za to vreme pročitao novine u miru i tišini.. Na njegovo veliko iznenađenje, Gaus (koji je tada imao 7 godina) odmah je doneo svoj rezultat: 5050. Evo kako je mladi matematičar to rešio: Posmatrajući niz 1,2,3,4,…,97,98,99,100, čije je članove trebalo sabrati, uočio je izvesnu zakonitost: kada spari 1 i 100, 2 i 99, 3 i 98, i tako dalje, uvek dobije zbir 101. Takvih parova ima tačno 50. Otuda je traženi zbir jednak 50×101 = 5050. Ovaj postupak nazvan je „Gausov postupak“.

Koristeći Gausov postupak i činjenicu da je proizvod ma koliko brojeva jednak nuli ako je bar jedan činilac jednak nuli,  probaj da rešiš sledeće zadatke:

1.  Izračunati:
a) (-1996) + (-1995) + … + 1996 + 1997 + 1998;
b) (-1994) × (-1993) × … × 1995 × 1996 × 1997 × 1998 ;

2.  Koliko je:
a) (-25) + (-24) + … + 33 + 34 ;
b) (-45) + (-44) + … + 37 + 38 ?

3.  Izračunati:
a) 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – … + 1995 – 1996 + 1997 – 1998;
b)1 – 3 + 5 – 7 + … + 1993 – 1995 + 1997 – 1999.

4.    Zbir 111 uzastopnih celih brojeva jednak je 0. O kojim brojevima je reč ?

5.   Odrediti 100 uzastopnih celih brojeva tako da je njihov zbir jednak 50.

Želim vam  uspešan rad i izazovne trenutke u otkrivanju lepota matematike.

Ubitačni matiš, Kjartan Poskit

Posted On 18. februara 2011.

Filed under zanimljivosti

Comments Dropped leave a response

Nikada nisam napisala preporuku ni za jednu knjigu  ali  čitajući  knjigu „Ubitačni matiš“ u izdanju Narodne knjige,  poželela sam da je i moji đaci pročitaju, kako bi na časovima mogli da se zajedno smejemo nekim  njenim  likovima . Zato sam i rešila da napišem par rečenica kojima bih vas ubedila da svakako pročitate ovu neobičnu knjigu .

Preporučiti knjigu za mene je  malo nezgodno, jer ja sam matematičar a smatra se da oni mogu samo da preporuče neku dobru zbirku zadataka , poput „Stazama šampiona“ ili onu sa još strašnijim naslovom „Hiljadu zadataka“ . Ipak , veliko je olakšanje ako znate da u ovoj knjizi nema  zadataka  i  neshvatljivih teorema. Glavni junaci su  veoma neobični i ima ih puno. Tu su  pukovnik Greškić i njegovi vojnici  Vektori, princeza Laplas, Urgum Sekiraš i njegova tri sina Roj, Rodi Ron, zaljubljena Gledis i matemađioničar Tag. Ova družina će vas provesti kroz čaroban svet matematike  ispunjen  smehom  i upotpunjen  veoma duhovitim ilustracijama.

Tvorac „Ubitačnog matiša“  je englez Kjartan Poskit  koji se posvetio popularizaciji matematike upravo među  decom osnovnoškolskog uzrasta. Na internetu možeš pronaći i njegov zvanični veb sajt , koji baš liči na njegove knjige i može vas povesti u razne poučne i izazovne   matematičke svetove .

Ako ti se „Ubitačni matiš“ baš dopadne , sigurno je da ćeš potražiti još neku Poskitovu knjigu. E tu ćeš se malo razočarati jer je kod nas prevedena samo još knjiga  „Urgum Sekiraš“ u izdanju Male Lagune.

U iščekivanju još nekih prevoda Poskitovih  nesvakidašnjih  knjiga, pozivam vas da  ne propustite šansu  da zavolite matematiku!

Pravilan šestougao

Posted On 14. marta 2009.

Filed under zanimljivosti

Comments Dropped leave a response

Pravilan šestougao ima šest jednakih stranica i šest jednakih unutrašnjih uglova. Veoma često ga susrećemou prirodi. Na fotografijama su neki primeri pravilnih šestouglova koje je sama priroda napravila. Razmislite gde se još možemo susresti sa ovom figurom. Pošaljite zanimljive fotografije , kako bi upotpunili donju galeriju!
                    pcelinje saće

          
  

Žurka u Matlendu

Posted On 14. marta 2009.

Filed under matematika za šesti razred

Comments Dropped 2 responses

ŽURKA U MATLENDU

Da li si ikad bio na ovakvoj žurci?

Svi su srećni i dobro se provode ( svi suPOZITIVNI) . Iznenada pojavljuje se SMARAČ ( jedan NEGATIVAN) ! Smarač se muva okolo i  smara svakog svojim dosadnim pričama, pritom njemu ništa nije OK, ni klopa, ni muzika , ni društvo.

I šta se desi sa žurkom? Svi su se oneraspoložili! Žurka bi mogla da propadne zbog jednog smarača!

JEDAN NEGATIVAN SVE PRETVARA U NEGATIVNO

Ali sačekaj… još neko dolazi na žurku!

Pa to je još jedan SMARAČ ( JOŠ JEDAN NEGATIVAN ) !!!

Dva smarača su odmah našli zajedničku temu za razgovor pa su jedan drugog smarali o tome kako je žurka jadna, i kako je muzika dosadna i kao nikada nisu bili na glupljem mestu. Međutim, njihove zajedničke teme za razgovor su se umnožavale, te su zaboravili gde su i koliko su zbog toga bili očajni. I smarači su počeli da uživaju u međusobnom društvu i razgovoru.

DVA NEGATIVNA POSTAJU POZITIVNO

Pošto su dva smarača zajedno, ostatak ekipe se super provodi. Žurka je spašena!

♣ ♣ ♣

Pouka ove priče je da ( bar u matematici, kod množenja i deljenja), nije važno koliko je pozitivnih jer  ako je bar jedan negativan o njemu moraš da povedeš računa.

Da bi odredio kakvog će znaka biti rezultat množenja ili deljenja, prebroj koliko je NEGATIVNIH pa ako ih je paran broj (možeš da ih grupišeš po 2) rezultat će biti pozitivan, a u suprotnom… biće negativan.

Negativni u PARU su POZITIVNI

Ovaj tekst možeš odavde preuzeti u word formatu , odštampati ga i zalepiti u svesku.

Tekst preuzet sa:

http://amby.com/educate/math/integer.html

Prevod:

Jelena Volarov

« Prethodna strana