O rešavanju jednačina

Posted On 6. novembra 2011.

Filed under Matematika za osmi razred

Comments Dropped one response

Začetak algebre 

Naucnici u gradu mudrosti

Naucnici u Bagdadu, gradu mudrosti

Algebra je deo matematike koji se , između ostalog, bavi rešavanjem jednačina. Osnovno obeležje algebre je uvođenje simbola koji su omogućili da se konkretan problem svede na jednu ili više jednostavnih jednakosti. U tim jednakostima su brojevi , koje treba otkriti, zamenjeni slovima (nepoznate veličine). Reč algebra se po prvi put pojavljuje u 10. veku, kao naslov knjige poznatog persijskog matematičara Al Horezmija. U bukvalnom prevodu reč algebra znači „ sastavljanje razdvojenih delova“ a u samoj knjizi podrazumeva povezivanje leve i desne strane jednakosti i skup pravila uz pomoću kojih se rešavaju jednačine.

Starogrčki matematičar, Diofant Aleksandrijski

Diofant Aleksandrijski  

Početak rešavanja jednačina najčešće vežemo uz starogrčkog matematičara Diofanta, ali postoje dokazi da su se jednačine u drevnoj Kini rešavale i mnogo ranije. Diofant je  doprineo napretku algebre upotrebom simbola za nepoznate veličine , matematičke operacije i odnose, pre toga su ove veličine  opisivane rečima. Najpoznatiji je po   otkriću Diofantovih jednačina, neodređenih jednačina s racionalnim koeficijentima za koje se traži racionalno rešenje. Diofant je prvi rešavao ovakve jednačine.  Ne zna se tačno kad je živeo, neki autori veruju da je živeo u trećem veku pre nove ere, dok ga drugi smeštaju u rani početak prvog veka. No, pouzdano se zna da je on bio grčki matematičar koji je radio u palati na Aleksandrijskom univerzitetu u Egiptu i da je upravo on započeo da koristi algebarske simbole koji su ubrzo istisnuli pisanje algebre u prozi i na verbalan način koji je nazvan  „retorička algebra“.  O životu Diofanta  Aleksandrijskog nije ostalo pisanih tragova osim neobičnog  natpisa na njegovoj  nadgrobnoj ploči  koji glasi :

“Putniče! Ovde je sahranjen Diofant. Brojevi govore koliko je dug bio njegov život. Šestinu njegovog života čini prekrasno detinjstvo. Dvanestinu čini njegova mladost. Sedminu svog života Diofant je proveo u braku bez dece. Prošlo je još pet godina dok mu Himen, bog braka i svadbe, nije podario sina. Sudbina je htela da sin poživi dva puta manje od svog oca. Još četiri godine poživeo je starac u dubokom bolu za izgubljenim sinom. Koliko je živeo Diofant? “

Kada bismo neku današnju jednačinu, npr. 5x + 3y = 7, pokazali nekom matematičaru  iz doba Diofanta, on bi bio krajnje zbunjen, iako je  znao da reši  takvu jednačinu . Naime, u to doba matematičari su se koristili potpuno drugačijim stilom zapisivanja i rešavanja zadataka.  Ovaj naš zapis jednačina koji koristi simbole za brojevne veličine (1,2,3…) , nepoznate veličine (x,y,a,m,…) , računske operacije (+,-, : , … ) i brojevne relacije (=, <,> ,…) je nastao tek u 17. veku.

Indijske cifre postaju arapske 

Indijske cifre nekad i sad

Kako bismo ilustrovali način zapisivanja jednačina pre pojave simbola, uzmimo primer iz arapskog matematičkog perioda. Primer je iz zapisa koji je nastao u 10. veku a pisao ga je poznati persijski matematičara Al Horezmi. Ovaj matematičar, astronom i geograf je poznat po mnogim knjigama, među kojima su i “Algebra”  i  “Račun sa hindu brojkama” u kojoj je opisana indijska notacija brojeva kasnije , zbog velikog uticaja ove knjige, nazvana arapska notacija. Takav zapis brojeva , koji cifri dodeljuje odgovarajuću vrednost u zavisnosti od njene pozicije u samom broju, naziva se pozicioni i koristi se i dan danas a a cifre koje koristimo u zapisu broja , poznate kao arapske cifre, su,  ustvari indijsko otkriće. Ovaj brojevni sistem je značajan i po tome što je cifru nula uveo u zapis broja ravnopravno sa svih  preostalih devet cifara dekadnog brojevnog sistema.

Spomenik Al Horezmiju u rodnom gradu Hiva, Uzbekistan

U Al Horezmijevoj knjizi “Algebra” zapisana je jednačina  čijim se rešavanjem on bavi u jednom delu svog teksta: Evo jednačine : Kolika mora biti količina kvadrata koji, kada mu se doda dvadeset i jedna celina, postaje jednako desetorostrukom kvadratu tog korena?

Sledi i rešenje ove jednačine dato u samoj knjizi : Prepolovi broj korena; polovina je pet. Pomnoži to sa samim sobom, proizvod je dvadeset i pet. Oduzmi od toga dvadeset i jedan kojiv je povezan s kvadratom; ostatak je četiri. Nađi njegov koren; on iznosi dva. Oduzmi ga od polovine korena, koji je pet; ostatak je tri. To je koren kvadrata kojeg si tražio, a kvadrat je devet. Ili možeš dodati koren polovini korijena; zbir je sedam; to je koren kvadrata kojeg si tražio, a kvadrat je četrdeset i devet.

Ovakav način zapisivanja jednačina je komplikovao rešavanje I najjednostavnijih jednačina. Bio je nepraktičan  iz više razloga a jedan od njih je i to što je svaki matematičar svoje jednačine pisao na svom maternjem jeziku pa je na taj način mogućnost razmene znanja među naučnicima bio ograničen jezičkim barijerama.

Matematički esperanto

Univerzalna matematička simbolika

Zanimljivo je da je Al Horezmi  , sve do otkrića indijske notacije, za zapisivanje brojeva koristio reči. Ispostavilo se da je indijski način zapisivanja brojeva imao veliku praktičnu vrednost  zbog čega je odmah bio prihvaćen među arapskim matematičarima. Prevodi Al Horezmijevih knjiga na latinski jezik , donose indijske cifre i na tlo Evrope gde su vrlo brzo ušle u upotrebu i izazavale ubrzani razvoj matematike u svim njenim oblastima.  Potaknuti idejom da se simboli uvedu u zapisivanje matematičkih jednačina, mnogi su matematičari počeli da u jezik matematike unose novu simboliku koja je znatno olakšala zapisivanje i rešavanje mnogih matematičkih problema. Sa pojavom Gutembergove štamparske mašine, pojačala se razmena znanja među naučnicima te je matematička simbolika postala univerzalan način korespodencije među matematičarima. Tako je nastao novi  “svetski”  jezik razumljiv u svakom delu naše planete, ispunjen simbolima koji su uglavnom nastajali  relativno skoro, u doba renesanse, u 15., 16. i 17. veku.